در تحلیلی واریانس با اندازه های تکراری، امکان مداخله ی چندین عامل درون آزمودنی در تحلیل وجود دارد. به طور مثال، آزمایشی را تصور کنید که در آن اثر دو عامل درون ازمودنی بر رویعملکرد تحصیلی یک گروه از دانش آموزان انجام شده است.

 در این پژوهش فرضی، عملکرد تحصیلی یک گروه از دانش آموزان در سه درس زبان، ریاضی و املا در سه زمان صبح، ظهر و عصر سنجیده می شود.

در این مطالعه، پژوهشگر فرض می کند که به دلیل متعادل بودن قند خون در صبحگاه، عملکرد تحصیلی آزمودنی ها در صبح بهتر از عملکرد تحصیلی آن ها در اوقات دیگر روز است.

مفروضه ی دیگر پژوهشگر در این طرح دو عاملی این است که وضعیت عملکرد تحصیلی در اوقات سه گانه برای دروس گوناگون یکسان نیست.

به عبارت ساده تر، می توان فرضی کرد که در میانه ی روز، عملکرد درس ریاضی بیشتر از دروس دیگر در معرض افت نمره قرار بگیرد.

نحوه ی آرایش داده ها در یک طرح دو عاملی درون آزمودنی با اندازه گیری مکرر در شکل 10 نمایش داده شده است.

 همان گونه که در شکل 10 مشاهده می شود، حروف M ,S و L بعد از نام متغیر Morning نشان دهنده دروش زبان (Language)، ریاضی (Math) و املا (Spelling) هستند سه متغیر نخست مربوط به زمان صبح، سه متغیر دوم مربوط به زمان ظهر و سه متغیر آخر در زمان عصر اندازه گیری شده اند.

بنابراین، در این طرح دو عاملی، هر کدام از عامل های درون آزمودنی دارای سه سطح است.

با توجه به این که در یک طرح دو عاملی نحوه ی معرفی متغیرها در کادر ارتباطی تحلیل واریانس با اندازه های تکراری، متفاوت از یک طرح تک عاملی است، بدین لحاظ نحوه ی معرفی داده ها در کادرهای مربوطه توضیح داده می شود.

با توجه به کادر ارتباطی اندازه های تکراری در شکل 7، به جای Factor1 در جعبه ی Within-Subject Factor Name واژه (Time) را وارد کنید و سپس در جعبه ی Number Of Levels تعداد سطوح زمان (صبح، ظهر و عصر) یعنی عدد 3 را وارد کرده و بر گزینه Add کلیک کنید.

اینک واژه ی Lessonرا در جعبه Within-Subject Factor Name وارد کنید و سپس تعداد سطوح دروس (زبان، ریاضی، و املا) یعنی عدد 3 را وارد کنید و بر گزینه Add کلیک کنید.

در شکل 11، تغییرات ایجاد شده در کادر ارتباطی اندازه های تکراری نمایش داده شده است.

 بر روی گزینه ی Define از نخستین کادر ارتباطی اندازه های تکراری کلیک کنید و تمام نه متغیر پژوهش را یکجا فعال کرده و سپس به جعبه ی Within-Subject Variables منتقل کنید.

دقت کنید تا ترتیب ورود متغیرها در جعبه ی مذکور رعایت شود.

برای نشان دادن نمودار گرافیکی داده ها، بر گزینه Plots از دومین کادر ارتباطی کلیک کنید و متغیر Time و Lesson را از جعبه ی Factor به جعبه های Separate Lines , Horizontal Axis منتقل کرده و سپس بر گزینه Add کلیک کنید.

به منظور انجام مقایسه های چندگانه ی بن فرونی بر روی عملکرد تحصیلی دانش آموزان در اوقات سه گانه و همچنین مقایسه ی چندگانه ی عملکرد دروس گوناگون بر روی گزینه ی Option از دومین کادر ارتباطی اندازه های تکراری (شکل 8) کلیک کرده و سپس از جعبه ی Factor And factor interactions متغیر Time و Lesson و Time x Lesson را به جعبه Display means for منتقل کنید.

در نهایت، گزینه ی compare main effects را علامت دار نمایید و با کمک فلش زیر گزینه ی confidence interval adjustment آزمون بن فرونی را انتخاب کنید.

از کادرهای ارتباطی خارجی شده و بر گزینه ok کلیک کنید تا فرمان اجرا شود.

در شکل 12 حالت های لازم برای ایجاد نمودار گرافیکی متغیرها نمایش داده شده است.

 نتایج حاصل از تحلیل واریانس با اندازه های تکراری در خروجی های 9، 10، 11و 12 ارائه شده است.

همان گونه که در نخستین جدول از خروجی 9 ملاحظه می شود، آزمون موخلی همگنی ماتریس واریانس- کوواریانس داده ها را برای متغیر زمان، دروس و تعامل آن ها تایید می کند.

بنابراین، نیازی به استفاده از آزمون محافظه کارانه ی گرین هاوس گیزر وجود ندارد.

در دومین جدول از خروجی 9، مهم ترین اطلاعات مربوط به تحلیل اندازه های تکراری درون آزمودنی درج شده است.

مقدار 094/1273=F در نخستین سطر در سطح بسیار فراتز از 0001/0>P معنی دار است.

معنی این آزمون این است که میان زمان ها (صبح، ظهر و عصر) از لحاظ میانگین دروس تفاوت معنی داری وجود دارد.

اگر نمره ی دروس سه گانه را در صبح، ظهر و عصر به طور جداگانه جمع کنید و در واقع این نه متغیر را به سه متغیر تبدیل کنید و سپس میانگین این سه درس را در صبح ، ظهر و عصر با یک تحلیل واریانس تک عاملی با اندازه های تکراری آزمون کنید، مقدار 094/1273=F به دست می آید.

نتیجه ی این آزمون نشان می دهد که عامل زمان (صبح، ظهر و عصر) واجد اثر معنی داری در نمره ی آزمودنی ها است.

سطر مربوط به Lessonنشان دهنده ی تفاوت معنی دار میان میانگین های دروس گوناگون است.

به بیان دیگر، اگر نمره ی دروس مرتبط با هم که در زمان های گوناگون به دست آمده اند را با هم جمع کنید و بر آن ها یک تحلیل واریانس تک عاملی درون آزمودنی انجام دهید مقدار 39/2509=F به دست می آید.

نتیجه ی این آزمون نشان دهنده ی آن است که بین جمع نمره های ریاضی در صبح، ظهر و عصر، جمع نمره های املا در صبح، ظهر و عصر و جمع نمره های زبان در صبح، ظهر و عصر تفاوت معنی داری در سطح 0001/0>P وجود دارد.

مطلب مهمی در سطر Time x Lesson از خروجی 9 وجود دارد که از اهمیت برخوردار است.

معنی دار بودن تعامل میان دروس و زمان، نشان دهنده ی حساسیت برخی از دروس نسبت به یک زمان ویژه است.

همان گونه که در نمودار خروجی 12 ملاحظه می شود، در زمان ظهر عملکرد ریاضی بیش از دروس دیگر کاهش پیدا کره است.

همچنین، مسطح بودن نسبی بالاترین خط که مربوط به عملکرد املا دانش آموزان است، نشان می دهد که زمان های گوناگون برگزاری آزمون، کمترین اثر را بر نمره ی املا گذاشته است.

در نخستین جدول از خروجی 10، میانگین عملکرد تحصیلی دانش آموزان در زمان صبح، ظهر و عصر درج شده است.

به طور مثال، میانگین سه درس زبان، ریاضی و املا دانش آموزان در زمان صبح که با کد 1 در ستون Time مشخص شده است.

برابر با 796/15 است. اعداد 2 و 3 به ترتیب به زمان ظهر و عصر مربوط می باشند.

 در جدول مقایسه های زوجی (Pairwisc comparison) در خروجی 10، سه مقایسه ی اصلی (عملکرد صبح با ظهر، صبح با عصر و ظهر با عصر) در سطح 0001/0 >P از لحاظ آماری معنی دار می باشند.

نکته ی مهم:

آزمون بن فرونی برای مقایسه های برنامه ریزی شده و یا به عبارتی پیش از تجربه تنظیم شده است.

آزمون های پیش از تجربه، ا ز توان و حساسیت بالاتری برای رد فرض صفر غلط برخوردارند.

بنابراین، اگر پژوهشگر فرضیه های پژوهش (مقایسه های زوجی) را پیش از آغاز پژوهش تنظیمکرده است و به ویژه اگر تعداد مقایسه ها کم باشد این آزمون از توان قایل قبولی برای مقایسه های درون آزمودنی برخوردار است.

روش LSD که به آن کمترین تفاوت معنی دار نیز گفته می شود در واقع همان t تست گروه های وابسته است.

اگر پژوهشگر قصد بررسی چندین مقایسه را دارد این آزمون خطای هم خانواده را کنترل نمی کند.

در واقع با این روش (در صورت انجام چندین مقایسه) به شکل ناروایی از آلفای اسمی قابل قبول عدول می شود.

بطور مثال، اگر میزان آلفا برای 3 مقایسه با روش LSD به ترتیب برابر با 05/0، 11/0، 03/0 باشد، انجام این مقایسه ها با روش بن فرونی (به دلیل کنترل خطای هم خانواده) به آلفای برابر با 15/0، 33/0 و 09/0 تبدیل می شوند.

در حقیقت میزان آلفا برای هر مقایسه در روش بن فرونی برابر با میزان آلفا با روش LSD ضربدر تعداد مقایسه هایی است که قرار است با روش بن فرونی مورد آزمون قرار گیرند.

در یک پژوهش ممکن است تعداد مقایسه ها (به دلیل سطوح اندازه های تکراری) بسیار زیاد باشد و پژوهشگر قصد بررسی تمام آن ها را نداشته باشد.

به طور مثال، ا گر قرار است تمام مقایسه های زوجی 9 متغیر آزمون شود، باید 36 مقایسه انجام گیرد.

به عبارت دیگر، تعداد مقایسه ها از این رابطه به دست می آید: C=(k(k-1))/2، در این رابطه C علامت تعداد مقایسه های ممکن و k تعداد میانگین ها است.

بدین لحاظ با 9 متغیر آزمودن ((9(9-1))/2)36مقایسه ی زوجی امکان پذیر است.

در چنین شرایطی که 36 مقایسه مد نظر است، روش بن فرونی آلفای اسمی قابل قبول را ار طریق تقسیم (0.05/36)0.001 محاسبه می کند.

بنابراین، سطح معنی داری هر مقایسه ی زوجی در روش LSD باید در حد 001/0>P باشد تا آن مقایسه در روش بن فرونی در سطح 05/0 تایید شود.

بنابراین، اکیدا توصیه می شود قبل از تحلیل داده ها و مشاهده ی نتایج، پژوهشگر تعداد مقایسه های مورد نیاز را تعیین کند و در مرحله ی بعد با روش LSD به آزمون مقایسه ها بپردازد.

سپس برای نتیجه گیری، لازم است سطح معنی داری هر مقایسه که از روش LSD حاصل شده است را در تعداد مقایسه های مورد نظر ضرب کند و سپس سطح معنی داری حاصل از این محاسبه را ملاک رد یا عدم رد فرضیه ی خود قرار دهد.

اگر پژوهشگر قصد آزمودن تمام مقایسه ها را دارد، می تواند مستقیما از آزمون بن فرونی استفاده کند.

در سومین جدول از خروجی 10، میانگین های دروس همسان، در زمان های گوناگون درج شده است.

به طور مثال، میانگین درس زبان در صبح، ظهر و عصر برابر با 856/14 است.

اعداد 2و3 به ترتیب مربوط به دروس ریاضی و املا می باشند.

در نخستین جدول از خروجی 11، مقایسه های زوجی مربوط به میانگین های کلی دروس همسان ارائه شده است.

همان گونه که در نخستین جدول از خروجی 11 مشاهده می شود بین میانگین های دروس گوناگون تفاوت معنی دار آماری وجود دارد.

همچنین، از ستون تفاضل میانگین ها Mean Difference می توان فهمید که بیشترین اختلاف بین میانگین درس املا و ریاضی است.

در دومین جدول از خروجی 11، میانگین عملکرد تحصیلی دانش آموزان با توجه به نوع درس و زمان، ارائه شده است.

به طور مثال، میانگین درس زبان در وقت صبح برابر 074/16 است.

 در خروجی 12، نمودار وضعیت عملکرد تحصیلی دانش آموزان در سه ماده ی درسی با توجه به زمان آزمون ترسیم شده است.

آشکارا این نمودار متفاوت بودن شیب دروس را در سطوح گوناگون زمان، نشان می دهد.

اگر پژوهشگر مایل است 36 مقایسه ی ممکن را بر روی این 3 درس و در سه زمان گوناگون آزمون کند، می تواند با 9 متغیر مربوط در محیط SPSS همانند یک طرح تک عاملی با اندازه گیری های تکراری رفتار کند.

به هر حال، اگر پژوهشگر می خواهد تمام اثرات دو عامل (زمان و دروس) را برای پاسخ دادن به فرضیه های خود دنبال کند، می تواند به مقایسه های زوجی بر روی 9 متغیر پژوهش بپردازد.

البته، بعید به نظر می رسد که تمام مقایسه ها جهت فرضیه آزمایی مورد توجه قرار گیرند.

 نکته مهم:

هنگامی که تعامل میان عامل زمان و دروس معنی دار می شود، پژوهشگر نمیتواند اثرات مربوط به دروس یا زمان ها را جداگانه جمع کند و بر روی آنها مقایسه های زوجی انجام دهد.

به عبارت دیگر، در صورت تعامل معنی دار، مقایسه ی میانگین مجموع سه درس مختلف در زمان صبح، ظهر، عصر و همچنین، مقایسه ی میانگین مجموع دروس همسان، امکان پذیر نخواهد بود.

بنابراین، آن چه از مقایسه های زوجی در خروجی 10 و 11 ارائه گردید، صرفا هنگامی مفید است که تعامل میان دو عامل (زمان و دروس) معنی دار نشود.

نابراین، ارائه ی آنها در این جا صرفا جنبه ی آموزشی دارد.

اگر نتایج حاصل از این داده های تصنعی از یک پژوهش واقعی به دست آید، سازمان سنجش کشور باید نسبت به برگزاری کنکور سراسری رشته های انسانی، تجربی و ریاضی در وقت صبح و بعدازظهر تجدید نظر اساسی به عمل آورد. حتی بدون انجام هر پژوهیشی، توصیه می شود که روز و زمان آزمون کنکور به صورت تصادفی برای رشته های مختلف تعیین شود.

صرف نظر از این توصیه، روش تصادفی به عدالت نزدیک تر است.

در بسیاری از پژوهش ها، علاوه بر مداخله ی عامل های درون آزمودنی، از عامل های بین آزمودنی نیز استفاده می شود.

به طرح های پژوهشی از این نوع، که همزمان عامل های درون آزمودنی و بین آزمودنی به کار گرفته می شود، طرح های آمیخته گفته می شود.

به طور مثال، ممکن است پژوهشگر بخواهد با مداخله ی جنسیت در مثال مربوط به عملکرد تحصلیل، وضعیت تحصیلی دانش آموزان دختر و پسر را در زمان های گوناگون و با توجه به دروس گوناگون بررسی کند.

به عبارت دیگر، پژوهشگر به دنبال آزمودن این مفروضه است که عملکرد تحصیلی در دروس گوناگون، در دختران متاثر از زمان آزمون نمی باشد و یا عملکرد تحصیلی دروس گوناگون، در زمان های صبح، ظهر و عصر برای دو جنس متفاوت است.

روند اجرایی یک طرح آمیخته با دو عامل درون ازمودنی (زمان و دروس) و یک عامل بین ازمودنی (جنسیت) همانند مثال پیشین است و تنها تفاوت آن در اضافه کردن یک متغیر کدگذاری شده تحت عنوان جنسیت است.

توجه داشته باشید که استنتاج های مفهومی و دنبال کردن اثرات تعاملی در این گونه طرح ها مستلزم دقت و حوصله ی بسیار است.

برای تحلیل این طرح آمیخته، مراحل اجرایی مثال پیشین را دنیال کنید و سپس در کادر ارتباطی تحلیل واریانس با اندازه های تکراری، متغیر جنسیت را در جعبه ی Between – subjects factor (s): قرار دهید.

به منظور ترسیم نمودار عملکرد تحصیلی در دروس و زمان های گوناگون به تفکیک جنس، بر روی گزینه ی plots از شکل 8 کلیک کنید و متغیر time را در جعبه ی Horizontal axis متغیر lesson را در جعبه ی separate lines: و متغیر جنسیت را در جعبه ی separate plots: منتقل کنید و برای اجرای فرمان از کادرهای ارتباطی خارج شوید.

نکته ی مهم:

در طرح های عاملی (چه درون آزمودنی و چه بین آزمودنی)، نخستین آماره ای که باید مورد توجه قرار گیرد، آماره ای است که اثر تمام متغیرهای درون آزمونی و بین آزمودنی در آن منعکس است.

به بیان دیگر، بزرگ ترین جمله ی تعامل عامل های درون آزمودنی و بین آزمودنی با یکدیگر باید مورد توجه قرار گیرد.

در مثال حاضر، باید F مربوط به اثر تعامل زمان، درس و جنسیت (time x lesson x sex) بررسی شود.

اگر مقدار F مربوط به اثر تقابلی همه ی عامل ها (time x lesson x sex) معنی دار شود، هیچ کدام از مقایسه های اثرات زمان، زمان × جنس، دروس، دروس× جنس و حتی زمان× دروس قابل اتکا نیستند.

به عبارت دیگر، اگر F اثر تقابلی همه ی عامل ها (time x lesson x sex) معنی دار شود، نمی توان یک حکم کلی راستین صادر کرد.

مثلا نمی توان گفت که عملکرد ریاضی همه ی آزمودنی ها در هنگام ظهر کاهش پیدا می کند و یا بر فرض، اگر معدل آزمودنی ها در صبح بیشتر از زمان های دیگر است، نمی توان این حکم را به دختران و پسران تعمیم داد.

بنابراین، اگر اثر تعاملی همه ی عامل ها (جمله ی بزرگ تعامل) معنی دار شود، باید مقایسه های زوجی بن فرونی را در سطوح عامل بین ازمودنی (در این مثال عامل بین آزمودنی جنسیت است) دنبال کرد.

به مقایسه ی نمره های دروس گوناگون در زمان های سه گانه (نه متغیر) در هر سطح از متغیر بین آزمودنی (دختر و پسر)، آزمون اثرات ساده اطلاق می شود.

بنابراین، باید دو تحلیل واریانس با اندازه های تکراری به طور تفکیکی برای دختران و پسران انجام شود و سپس مقایسه های زوجی با روش بن فرونی دنبال گردد (به تفکیک جنسیت).

مجزا کردن داده های دختران و پسران در دو فایل جداگانه و انجام تحلیل های تفکیکی جهت مقایسه های درون آزمودنی، می تواند از آمیختگی اطلاعات جلوگیری به عمل آورد.

نتایج تحلیل واریانس با اندازه های تکراری (مدل آمیخته) در خروجی 13 آمده است.

مهم ترین خروجی تحلیل اندازه های تکراری، جدول Tests of within subjects effects است که اینک به بررسی آن پرداخته می شود.

همان گونه که در خروجی 13 ملاحظه می شود، F مربوط به اثر تقابلی همه ی عامل ها (time x lesson x sex) برابر با 061/2 و در سطح 085/0

در خروجی های 14 و 15 نمودار وضعیت معدل دروس در سطوح گوناگون زمان برای مردان و زنان ارائه شده است.

همان گونه که در نمودار خروجی های 14 و 15 ملاحظه می شود، شیب عملکرد دروس در سطوح گوناگون زمان (1= صبح، 2= ظهر و 3=عصر) برای هر دو جنس از لحاظ بصری همسان می باشند.

به عبارت دیگر، میانگین دروس برای هر دو جنس در زمان ظهر کاهش معنی داری نشان می دهد.