نوع ساده ای از پیوند بین متغیر های X و Y ، زوج های مقادیر یا به طور نموداری؛ نقاطی که در اطراف یک خط مستقیم پراکنده اند، را تولید می کند.
وجود کمی پراکندگی حول یک خط نشانه ای از یک پیوند قوی است، و وجود پراکندگی زیاد، نمایشی از یک پیوند ضعیف است.
معیار عددی حاصل از این رابطه، ضریب همبستگی نمونه ای یا بعضی اوقات، «ضریب همبستگی گشتاور حاصل ضرب پیرسُن» نامیده شده و ضریب همبستگی نمونه ای r به صورت زیر تعریف می شود:
که معمولا آن را با ρ نشان می دهند. در حالت کلی می توانیم ضریب همبستگی نمونه ای r را به عنوان برآوردکننده ای از ضریب همبستگی جامعه، یعنی ρ در نظر بگیریم.
چون r مشابه نمونه ای همبستگی جامعه، یعنی ρ است، خواص ρ را نیز شامل می شود: مقدار r می تواند مقادیر +1 تا-1 را اختیار کند.
مقدار r =1 وقتی رخ می دهد که نقاط داده ها به طور کامل روی یک خط مستقیم با شیب مثبت قرار بگیرند.
مقدار r = -1 بیانگر یک رابطۀ خطی کامل است که در آن خط دارای شیب منفی است.
مقداری ازr که نزدیک اعداد -1 و1 قرار بگیرد متناظر با خوشه ای فشرده از نقاط داده ها در اطراف یک خط مستقیم است که یک رابطۀ خطی قوی را تشکیل می دهند.
هر چه مقدار خوشه ای شدن در اطراف یک خط مستقیم کمتر باشد، rمقادیر کوچکتری را گرفته و r=0 به عنوان عدم رابطۀ خطی تعبیر می شود.
در شکل 2-5 تناظر بین اندازۀ خطی بدون رابطه، و مقدارr نشان داده شده است.
علاوه بر این، ضریب همبستگی نمونه را می توان در برازش خط مستقیم به داده ها با کوچکترین توان دوم به نوعی تفسیر کرد.
در مبحث رگرسیون، نسبت تغییر پذیری در مقادیر Y، که قابل بیان با یک رابطه خطی است دقیقاr2 است.
بنابراین با r = 0.9 ، 81%از تغییرپذیری مقادیر Y به وسیله یک رابطه خطی بیان می شود.
با r = 0.5 فقط 25%از تغییر پذیری بیان می شود. در این مقطع یادآوری نکتۀ مهمی ضرورت دارد.
ضریب همبستگی نمونه ای، r، قدرت رابطۀ خطی را اندازه می گیرد.
ممکن است حالتی وجود داشته باشد که X و Y به طور قوی مربوط بوده ولی رابطه منحنی الخط باشد.
بعضی اوقات ممکن است منحنی طوری باشد که r به صفر نزدیک شود، که این موضوع به طور صحیح نمایشگر عدم رابطۀ خطی است ولی بدین معنی نیست که هیچ گونه رابطه ای وجود ندارد.
خوشبختانه رسم نمودار پراکندگی و توجه به داده ا موجب اجتناب از این دام اخیر می شود.
چنین وضعیتی در شکل 3-5 تشریح شده است. وقتی الگوی کلی به شکل موز باشد، شکل 4-5 (الف)، همبستگی نمونه ای r معمولا مناسبترین معیار برای بیان میزان رابطۀ مناسب نیست.
در برخورد با خوشه های جدا از هم، شکل 4-5 (ب)، در قدم اول باید علت اساسی تعیین شود و سپس برای هر خوشه به طور مجزا عمل کرد.
همبستگی و علیت :
از نظر تاریخی، اغلب به طور شتابزده به نتایج توجه نشده ای پرداخته اند که این نتایج به وسیلۀ درک نادرست یک همبستگی مشاهده شده برای یک رابطۀ علّی و معلولی بوده است.
ضریب بالای همبستگی نمونه ایف لزوما معنای رابطۀ علیتی بین دو متغیر را نمی دهد.
مثالی که اغلب نقل شده است مربوط به همبستگی مثبت زیاد بین تعداد لک لک های دیده شده و تعداد تولد در یک شهر اروپایی است.
خوشبختانه امروزه هیچ فردی از این گواه نتیجه نمی گیرد که این لک لک ها هستند که نوزادان را می آورند و یا حتی بدتر، این کشتن لک لک هاست که رشد جمعیت را کنترل می کند.
این مشاهده که دو متغیر به طور همزمان و در یک جهت تعیین می کنند، به معنی وجود یک رابطۀ مستقیم بین آنها نیست.
اگر تعداد آدم کش های ماهانه، x، و تعداد جلسات مذهبی ماهانه، y، را برای شهرهای متعدد با جمعیت خیلی متفاوت ثبت کنیم، داده ها احتمالا یک همبستگی زیاد را نشان خواهند داد.
علیرغم این واقعیت که x و y ممکن است نامربوط یا حتی به طور منفی به یکدیگر مربوط باشند، این، نوسان یک متغیر سوم (یعنی، جمعیت شهر) است که موجب می شود x و y در یک جمعیت تغییر کنند.
به سومین متغیر، که در این مثال، واقعا علت همبستگی مشاهده شدۀ بین جنایات و جلسات مذهبی است، به عنوان «متغیر پنهانی» را اطلاق می کنند.
همبستگی غلطی را که این متغیر تولید می کند همبستگی جعلی می نامند.
وقتی ضریب همبستگی را به عنوان معیاری برای رابطه به کار می بریم ، باید مراقب باشیم تا حد امکان تاثیر یک متغیر پنهانی بر هر یک از متغیرهای تحت بررسی اجتناب کنیم.
نحوۀ محاسبۀ ضریب همبستگی پیرسون:
دستور Analyze > correlate > bivariate… را اجرا کنید.
در پنجرۀ bivariate correlations (همبستگی های دو متغیره) نام هر دو متغیر را انتخاب کرده و آن ها را به ناحیۀ مستطیلی variables (متغیرها) منتقل کنید.
برای دیدن میانگین ها و انحراف معیار در خروجی، روی دکمۀ optionsکلیک کرده و گزینه means and standard deviations را انتخاب کنید.
اکنون روی دکمۀ continue (ادامۀ) کلیک کنید.
مطمئن باشید که در ناحیۀ correlation coefficients (ضرایب همبستگی) گزینۀ نوع Pearson (پیرسُن) انتخاب شده باشد.
نوع یک یا دو طرفه بودن آزمون را در ناحیۀ test of significance (آزمون معنی داری) تعیین کنید.
نکات :
در صورت انتخاب، گزینۀ Flag significant correlations (ضرایب معنی داری مشخص شوند) باعث می شود که همبستگی ها در سطح آزمون 5% با یک ستاره و در سطح آزمون 1% با دو ستاره در خروجی نشان داده شود.
برای بررسی correlation Matrix (ماتریس همبستگی) در رگرسیون های چندگانه، جهت آگاهی از وجود روابط Multi collinearity (هم چند خطی بودن)، بهتر است جدول Descriptivestatistics(آماره های توصیفی) استفاده شود.
در این جدول predictor (پیش بینی کننده) هایی که در آن ها میزان همبستگی، یعنی R از عدد 0.9 بیشتر باشد، (R > 0.9)نشان دهندۀ ارتباط شدید بین متغیرها است.
مثال:
برای داده های مثال 1 ضریب همبستگی پیرسن را حساب کنید.
پاسخ:
1- داده ها را در محیط نرم افزاری SPSS وارد کنید.
2- دستور Analyze > correlate > bivariate… را اجرا کنید.
3- در پنجرۀ Bivariate correlations (همبستگی های دو متغیره) متغیرهای X و Y از سمت چپ پنجرۀ را با پایین نگه داشتن کلید ctrl از صفحه کلید انتخاب و سپس با کلیک چپ روی دکمۀ آن را به ناحیۀ راست منتقل کنید، شکل 5-5.
4- رو ی دکمۀ options… (گزینه ها) کلیک کنید تا پنجرۀ bivariate correlations: options باز شود.
5- در پنجرۀ bivariate correlations: options گزینۀ means and standard deviations را انتخاب کنید تا «میانگین مشاهدات» و « انحراف معیارها» در خروجی نشان داده شود، شکل 6-5.
6- ابتدا روی دکمۀ continue و سپس روی دکمۀ ok کلیک کنید، خروجی 2-5.
تحلیل خروجی :
در این خروجی، جدولی از آمار توصیفی و همبستگی ها نشان داده شده است.
همانطور که در جدول correlation دیده می شود، مقدارr برابر0.412 و P – Value = sig. (2- tailed) برابر با 0.006 است بنابراین، می توانیم نتیجه بگیریم که:
P-Value = 0.006 <α = 0.01 پس، «ضریب همبستگی» در سطح آزمون 0.01=α معنی دار است.
معیارهای همبستگی مبتنی بر رتبه ها رتبه ها برای تعیین درجۀ پیوند بین دو متغیر تصادفی نیز به کار روند.
این دو متغیر می توانند در اجرای یک آزمون روان شناسی، توانایی در ریاضیات و داشتن استعداد موسیقی یا نمرات سلطه جویی پسرهای اول و دوم خانواده ها باشند.
اگر به خاطر داشته باشید ضریب همبستگی گشتاور حاصل ضرب پیرسن، یعنی r را به عنوان معیاری از پیوند بین X وY معرفی کردیم.
R که به صورت یک آمارۀ توصیفی به کار می رود مقدار عددی برای میزان وابستگی خطی بین X وY را فراهم می آورد.
اما، توزیع نمونه ای داده شده برای r، فقط تحت فرض کاملا محدود کنندۀ نرمال بودن توزیع توام X وY بر قرار است.
روش های همبستگی رتبه ای بر این محدودیت فائق می شوند و نیز صفت کیفی قوی تری از اندازه گیری رابطه های معینی که خطی نیستند نشان می دهند.
ساختار مشاهدات اگر n زوج (X_1,Y_1),(X_2,Y_2),…,(X_n,Y_n) مستقل بوده و تمام زوج ها دارای توزیع دو متغیرۀ پیوسته یکسان باشند، در این صورت X1,X2,…,Xnبین خودشان و Y1,Y2,…,Yn نیز بین خودشان رتبه بندی می شوند، جدول 2-5.
معیاری از همبستگی به وسیلۀ «چارلز اسپیرمن» (Charles Spearman) تعریف شده است که به همبستگی «کارل پیرسن» (karl Pearson)شباهت زیادی دارد، با این تفاوت که اسپیرمن به جای مشاهدات، رتبه های آن ها را قرار می دهد.
همبستگی رتبه ای اسپیرمن، rsp با رابطۀ زیر تعریف می شود:
که با نام Spearman's rho (رو اسپیرمن) نیز شناخته می شود.
این همبستگی رتبه ای سهمی از خواص r را دارد طوری که1 -1≤r_sp≤ و مقادیر نزدیک +1 نمایشگر گرایش زوج شدن با مقادیر بزرگترX یا مقادیر بزرگتر Y است.
با وجود این، همبستگی رتبه ای با معناتر است زیرا تعبیر آن به خطی بودن رابطه نیاز ندارد.
