در این مقاله درباره نقش مجموعه های ریاضی در روش شناسی تحقیق پروپوزال پایان نامه روانشناسی بحث کرده ایم که مطلب بسیار مفیدی است.
مفهوم «مجموعه » یکی از قویترین و مفیدترین مفاهیم ریاضی در فهمیدن جنبه های روش شناسی تحقیق است .
مجموعه ها و عناصر آنها مواد اولیه ای هستند که ریاضیات با آنها سر و کار دارد .
حتی اگر از آن بی اطلاع باشیم ، مجموعه ها و نظریه مجموعه ها ، مبانی تفکر و عمل توصیفی ، منطقی و تحلیلی ما را به شمار می روند .
آنها در عمل پایه تمامی مطالب روش تحقیق هستند.
آنها پایه هایی هستند که پیچیدگیهای تحلیل عددی ، طبقه ای ، و آرای خود را بر آنها استوار می کنیم ، هر چند همیشه از پایه های مجموعه ای افکار و کارهایمان آگاهی روشن نداریم .
برای مثال ، نظریه مجموعه برای ما تعریف روشنی از رابطه ها را فراهم می کند .
در رویکرد به احتمالات و نمونه گیری و فهمیدن آنها به ما کمک می کند . آن نخستین عموزاده منطق است است ، و به ما کمک می کند تا موضوع بسیار مهم طبقه ها و طبقه بندی اشیاء در جهان را بفهمیم .
به علاوه ، تفکر مجموعه ای حتی با ما کمک می کند تا مسئله دشوار ارتباطی انسان : ابهامی که از آمیختگی سطوح بحث سرچشمه می گیرد را درک کنیم . علم اساساً با مفاهیم گروه ، طبقه ، یا مجموعه سرو کار دارد .
هنگامی که دانشمندان از رویدادها یا اشیاء تک و جداگانه بحث می کنند ، آنها را به عنوان اعضای مجموعه هایی از رویدادها یا اشیاء در نظر دارند . این سخن در مورد تمام گفتگوهای انسانی به طور کلی صدق می کند .
«غاز» ، اما کلمه غاز بدون داشتن مفهومی از گروه موجودات شبیه غاز که «غازها» نامیده می شوند بی معناست .
هنگامی که درباره یک کودک و مشکلات او سخن می گوییم ، ناگزیر باید درباره گروهها ، طبقه ها ، یا مجموعه هایی از اشیایی که به آن تعلق دارد صحبت کنیم : یک کودک هفت ساله ( اولین مجموعه ) ، کلاس دوم ( دومین مجموعه ) ، با هوش ( سومین مجموعه ) ، سالم ( چهارمین مجموعه ) و پسر ( پنجمین مجموعه ) .
یک مجموعه اجتماع تعریف شده ای از اشیاء یا عناصر است . مجموعه وقتی به خوبی تعریف می شود که بتوان گفت یک شیء معین به آن مجموعه تعلق دارد یا نه . اصطلاحهایی مانند کلاس ، مدرسه ، خانواده ، جمعیت ، و گروه نشانگر مجموعه ها هستند .
برای تعریف مجموعه دو راه وجود دارد : ( 1 ) فهرست کردن تمامی اعضای یک مجموعه و ( 2 ) به دست دادن قاعده ای برای تیین اینکه آیا اشیاء به مجموعه تعلق دارند یا نه . شماره ( 1 ) را تعریف «فهرستی» و شماره ( 2 ) را تعریف «قاعده ای» بنامید .
در تحقیق معمولاً تعریف قاعده ای به کار می رود ، هر چند مواردی وجود دارند که همه اعضای مجموعه در عمل یا به طور ذهنی فهرست می شوند . برای مثال ، فرض کنید رابطه بین رفتار رأی دادن و رجحان سیاسی را مطالعه می کنیم .
رجحان سیاسی را می توان به عنوان جمهوریخواه یا دموکراتیک ثبت نام شده تعریف کرد .
بنابراین مجموعه بزرگی از افراد دارای رجحانهای سیاسی را به صورت دو زیر مجموعه کوچکتر خواهیم داشت : زیر مجموعه جمهوریخواهان و زیر مجموعه دموکراتها . این تعریف قاعده ای مجموعه است . البته ، ما ممکن است برای تعریف زیر مجموعه هایمان همه جمهوریخواهان و دموکراتهای ثبت نام شده را فهرست کنیم ، اما این کار اگر ناممکن نباشد بسیار دشوار است .
به علاوه ، این کار ضرورت ندارد ؛ معمولاً بیان قاعده کافی است . این قاعده ممکن است چنین باشد : جمهوریخواه کسی است که در حزب جمهوریخواه ثبت نام کرده است . قاعده دیگر می تواند این گونه باشد : جمهوریخواه کسی است که می گوید جمهوری خواه است .
زیر مجموعه ها : زیرمجموعه یک مجموعه ، مجموعه ای است که از انتخاب مجموعه هایی از یک مجموعه اصلی به دست می آید . هر زیر مجموعه یک مجموعه ، بخشی از مجموعه اصلی است .
به طور خلاصه تر و دقیقتر ، «مجموعه B زیر مجموعه ای از مجموعه A است هنگامی که همه اعضای B اعضای A باشند . » مجموعه ها را با حروف بزرگ نشان می دهیم : Y,X,L,K,B,A و غیره . اگر B زیر مجموعه A باشد ، می نویسیم B ( A و معنایش این است که « B زیر مجموعه A است ، » «Bدر A می کنجد» یا «همه اعضای B اعضای A نیز هستند» هنگامی که نمونه هایی از یک جامعه انتخاب می شوند ، نمونه ها زیر مجموعه جامعه هستند .
فرض کنید پژوهشگری از میان تمام کلاس های یازدهم یک دبیرستان بزرگ ، چهار کلاس یازدهم را نمونه گیری کند . این چهار چهار کلاس زیر مجموعه جامعه همه کلاسهای یازدهم آن دبیرستان به شمار می آیند .
هر یک از چهار کلاس نمونه را هم می توان زیر مجموعه آن چهار کلاس دانست- و همین طور زیر مجموعه همه جامعه کلاسها . همه دانش آموزان این چهار کلاس را می توان به دو زیر مجموعه دختران و پسران تقسیم کرد .
هنگامی که یک پژوهشگر جامعه یا نمونه ای را به دو یا چند گروه تجزیه یا دسته بندی می کند ، او برای انجام این کار با استفاده از یک قاعده یا ملاک ، یر مجموعه هایی می سازد .
در این مورد مثالهای زیادی وجود دارد : رجحانهای مذهبی شامل کاتولیک ، پروتستان ، یهودی است ؛ هوش به دو دسته بالا و پایین تقسیم می شود و نظایر آن . حتی شرایط آزمایشی را نیز می توان به همین ترتیب دسته بندی کرد .
مفهوم کلاسیک گروه کنترل-آزمایشی یک مغهوم مجموعه – زیر مجموعه است . افرادی در گروه آزمایشی قرار می گیرند ؛ ای زیر مجموعه ای از کل نمونه است . همه افراد دیگری که در این آزمایش شرکت داده می شوند ( افراد گروه گواه ) نیز یک زیر مجموعه را تشکیل می دهند .
عملیات مجموعه ای در رابطه با مجموعه دو سری عملیات اساسی وجود دارد : اشتراک و اجتماع . هر یک از عملیات صرفاً «انجام کاری نسبت به . . . » است . در حساب اعمال جمع ، تفریق ، ضرب ، و تقسیم انجام میگیرد .
در مجموعه ها اعمال مشترک «اشتراک» و «اجتماع» را انجام می دهیم . همچنین آنها را «نفی می کنیم» . اشتراک همپوشی دو یا چند مجموعه است ؛ یعنی اینکه عناصری در دو یا چند مجموعه شریکند .
ماد اشتراک چنین است ∩ ( خاونده می شود «اشتراک» یا «کلاه» ) . اشتراک مجموعه های A و B به صورت B∩A ، نوشته می شود و خود B∩A نیز یک مجموعه است . به گونه ای دقیقتر ، آن مجموعه ای است که آن دسته از عناصر A و B را در بر میگیرد که هم به A و هم به B تعلق دارند .
اشتراک همچنین به صورت A . B . یا فقط AB . نیز نوشته می شود . اگر داشته باشیم : A= {0,1,2,3} و B={2,3,4,5} ( توجه کنید که برای نشان دادن مجموعه از علامت "{}" استفاده می کنیم ) ، در این صورت خواهیم داشت A∩B={2,3} این مطلب در تصویر 1-4 نشان داده شده است .
A∩Bیا {2,3} مجموعه جدیدی است کهاز دو عضو تشکیل شده است که هر دو مجموعه مشترکند . توجه دشته باشید که A∩Bهمچنین رابطه بین مجموعه ها را نشان می دهد ، عناصری که در مجموعه های AوB مشترکند .
اجتماع دو مجموعه به صورت A∪B نوشته می شود . A∪B مجموعه ای است که همه عناصر مجموعه A و مجموعه B را شامل می شود . ریاضیدانان A∪B را به عنوان مجموعه ای تعریف می کنند که شامل عناصری است که یا به مجموعه A یا به مجموعه B و یا به هر دوی آنها تعلق دارد . به عبارت دیگر با افزودن عناصر مجموعه A به عناصر مجموعه B ، مجموعه جدید A∪B به دست می آید .
مثال تصویر 1-4 را در نشر بگیرید . A شامل 0,1,2,3 ؛ و B شامل 2,3,4,5, است . A∪B={0,1,2,3,4,5} . اجتماه مجموعه های Aو B در تصویر 1-4 به وسیله مساحت کل دو دایره نشان داده می شود .
توجه کنید که اعضای مجموعه A∩B ، یعنی {2,3} را دوبار نمی شماریم . نمونه هایی از اجتماع در یک تحقیق ، ترکیب گروههای زنان و مردان ، M∪F ، و جمهوریخواهان و دموکراتها R∪D با همدیگر است .
A همه دانش آموزان مدارس ابتدایی و B همه دانش آموزان ندارس متوسطه در منطقه آموزشیx باشد . در این صورت A∪B مجموعه تمام دانش آموزان مدارس این منطقه آموزشی خواهد بود .
مجموعه های جامع و تهی ؛ نفی مجموعه ای :
مجموعه جامع که با علامت ∪ نشان داده می شود ، مجموعه همه عناصر مورد بحث است آن را می توان موضوع بحث یا سطح بحث ( استدلال ) نامید . ( آن به اصطلاحِ جامعه و جهان یا کل در نظریه نمونه گیری شباهت زیاد دارد . ) این بدان معناست که ما بحث خود را به مجموعه های ثابت عناصر – همه آنها- از این طبقه ثابت ، ∪ محدود می کنیم .
برای مثال ، اگر قرار باشد تعیین کننده های پیشرفت تحصیلی در مدرسه ابتدایی را مطالعه کنیم ، ممکن است∪ را به عنوان تمامی دانش آموزان کلاس های اول تا ششم تعریف نماییم می توانیم ∪ را به گونه ای دیگر ، به عنوان نمره های آزمون پیشرفت تحصیلی همان دانش آموزان تعریف کنیم .
اگر بخواهیم زیر مجموعه های ∪ را جداگانه مطالعه کنیم ، این زیر مجموعه ها ممکن است نمره های دانش آموزان کلاس اول ، نمره های دانش آموزان کلاس دوم و غیره باشد . ∪ممکن است بزرگ یا کوچک باشد .
با توجه به مثال تصویر 1-4 داریم ، A={0,1,2,3,} و B={2,3,4,5} اگر داشته باشیمB = U A∪ ، در این صورت U={0,1,2,3,4,5} خواهد بود ، در اینجا U کاملاً کوچک است . اگر داشته باشیم {جمشید ، ماهرخ ، فاطمه ، بتول}A= و{پرویز ، جواد ، اکبر B={ و اگر این افراد شامل همه کسانی باشند که درباره آنان صحبت می کنیم ، در این صورت خواهیم داشت ، {ماهرخ ، جمشید ، فاطمه ، بتول ، جواد ، اکبر}=U و البته B = U A∪ .
این نمونه دیگری از U کوچک است ، در تحقیق مجموعه های U اغلب بزرگند . اگر مدارس یک منطقه بزرگ را نمونه بزرگ را نمونه گیری کنیم ، در این صورت U شامل تمامی مدارس این منطقه است ، یک U نسبتاً بزرگ . U همچنین ممکن است همه معلمان یا همه شاگردان این مدارس را نیز شامل شود ، که آنها هم U های بزرگتری هستند .
در تحقیق شناخت U مورد مطالعه مهم است . ابهام در تعریف U می تواند به نتیجه گیریهای غلط منجر شود . برای مثال ، معلوم شده است که طبقه های اجتماعی از نظر بیماریهای روان رنجوری و روان پریشی متفاوتند .
اگر قرار باشد تعیین کننده های مفروض بیماری روانی مورد مطالعه قرار دهیم و آزمودنیها را فقط از میان مردم طبقه متوسط انتخاب کنیم ، بدیهی است نتیجه گیریهای ما به طبقه متوسط محدود خواهد بود .
اما ممکن است به آسانی آن را به همه مردم تعمیم دهیم ، و چنین تعمیمی با خطای عمده ای همراه خواهد بود . در چنین موردی یافته هایمان را به همه مرد ، U تعمیم داده ایم ، در حالی که روابط مورد نظر را فقط در U1 ، یعنی طبقه متوسط مطالعه کرده ایم . این امکان کاملاً وجود دارد ، و شاید هم تا اندازه ای درست است ، که این روابط در مورد ، U2 یعنی طبقه کارگر به کلی متفاوت باشد .
مجموعه تهی به مجموعه ای گفته می شود که هیچ عضوی ندارد . ما آن را با برچسب E نشان می دهیم . آن می توان مجموعه صفر نیز نامید . گرچه ممکن است به نظر دانشجویان عجیب باشد که به خاطر مجموعه هایی که هیچ عضوی ندارند به خود زحمت می دهیم ، این مفهوم کاملاً سودمند و حتی اجتناب ناپذیر است .
با استفاده از آن می توانیم افکار معینی را بدون ابهام و به گونه ای با صرفه به دیگران انتقال دهیم . برای اینکه نشان بدهیم که مثلاً بین دو مجموعه داده ها هیچ رابطه ای وجود ندارد ، معادله مجموعه A∩B=E را می نویسیم که در اصل می گوید اشتراک مجموعهA و مجموعه B تهی است ، یعنی هیچ عضوی از مجموعه Aبه مجموعه B تعلق ندارد .
اگر داشته باشیم A={1,2,3} و B={4,5,6} بنابراین خواهیم داشت A∩B=E بدیهی است مجموعه های AوB هیچ عضو مشترکی ندارند . مجموعه احتمال پیروزی نامزدهای ریاست جمهوری هم از حزب دموکرات و هم از جمهوریخواه در انتخابات ملی تهی است .
مجموعه وقوع باران و هوای بدون ابر تهی است . بنابراین ، مجموعه تهی روش دیگری برای بیان غلط بودن قضیه ها ( گزاره ها ) است . در این مورد می توانیم بگوییم که عبارت «باران بدون ابر» غلط است .
به زبان مجموعه این را می توان چنین بیان کرد P∩~Q=E که در آن ، P= مجموعه همه رویدادهای باران ، Q= مجموعه همه رویدادهای ابری ، و ~Q برابر مجموعه همه رویدادهای بدون ابر است .
نفی یا مکمل مجموعه A به صورت ~Aنوشته می شود و بدین معناست که همه اعضای U در مجموعه A نیست . اگر داشته باشیم ، همه مردها=A ، و همه انسانها =U ، در این صورت خواهیم داشت ، همه زنان ( نه مردان ) = ~A . به نظر می رسد که دو مقوله ای کردن ساده پایه اصلی تفکر انسان است . برای فکر کردن طبقه بندی لازم است ؛ شخص ، در ابتدایی ترین سطح باید بتواند اشیاء را به دو طبقه ، آنهایی که به مجموعه معینی تعلق دارند و اشیایی که به آن مجموعه تعلق ندارند طبقه بندی کند .
ما باید مردها را از غیر مردها ، من را از غیر من ، زود را از غیر زود ، و خوب را از غیر خوب متمایز کنیم . اگر داشته باشیم ، U={0,1,2,3,4} و A={0 . 1} باشد ، در این صورت ، ~A={2,3,4} است . البته A و~A زیر مجموعه های مجموعه U هستند . یکی از خواص مهم مجموعه ها و فی آنها در معادله مجموعه بیان می شود : A∪~A=U است . همچنین توجه کنید که A∩~A=E است .
نمودارهای مجموعه ای اکنون مطالب را جمع بندی کرده و مفاهیم اساسی مجموعه ها را که قبلاً مطرح کردیم به وسیله طرح ترسیمی نشان می دهیم . مجموعه ها را می توان با انواع مختلف تصاویر مجسم کرد ، اما به طور معمول از مستطیل و دایره استفاده می شود . آنها از روشی که توسط جان ون ابداع شد اقتباس شده اند . در این کتاب از مستطیل ، دایره ، و بیضی استفاده خواهد شد .
به تصویر 2-4 نگاه کنید . U به وسیله مستطیل نشان داده شده است .
همه عضوهای کل یا جهان موضوع بحث در U قرار دارند . همه عضوهای موجود در U که در A نیستند زیر مجموعه دیگر U یعنی ~A را تشکیل می دهند . بار دیگر توجه کنید که A∪~A=U .
همچنین ملاحظه می کنید که A∩~A=E است ، به عبارت دیگر بین مجموعه A و ~A هیچ عضو مشترک وجود ندارد .
در تصویر دو مجموعه A و B را که هر دو زیر مجموعه U هستند ترسیم کرده ایم .
از روی نمودار مشاهده می شود که A∩~A=E است .
اکنون یک قرارداد وضع می کنیم : وقتی که می خواهیم یک مجموعه یا یک زیر مجموعه را نشان دهیم ، آن را به صورت عمودی ، افقی ، یا مورب هاشور می زنیم . مجموعه A∪B در تصویر هاشور زده است .
اشتراک ، که شاید از نقطه نظر این کتاب مهمترین مفهوم مجموعه باشد ، به وسیله قسمت هاشور زده شده تصویر نشان داده شده است .
این وضعیت را می توان به وسیله معادله A∩B≠E نشان داد ، و معنای آن این است که اشتراک مجموعه های A و B تهی نیست .
وقتی دو مجموعه A وB مساوی باشند عناصر یا عضوهای این دو مجموعه یکسان است .
نمودار ون ، دو دایره منطبق را در U نشان خواهد داد . در عمل فقط یک دایره دیده می شود . هر گاه A=B باشد ، در این صورت خواهیم داشت : A∩B=A∪B=A=B در نمودار 5-4 ، A⊂B را نشان داده ایم ، یعنی A زیر مجموعه B است .
B به صورت افقی و A به صورت عمودی هاشور خورده است . توجه کنید که A∪B=B ( همه مساحت هاشور خورده ) و A∩B=A ( مساحتی است که هم افقی و هم عمودی هاشور خورده . ) .
همه عضوهای مجموعه A رد مجموعه B هم هست ، یا همه aها ، bها نیز هستند ، به شرطی که داشته باشیم ، هر عضوی از a=A و هر عضوی از b=B است .