محاسبه ضریب همبستگی در تحلیل عاملی با spss نکات مهمی دارد که هر تحلیل گر حرفه ای نیازمند دانستن آن است.

محاسبه ی ضرایب همبستگی : تحلیل عاملی با جدول ماتریس ضرایب همبستگی بین متغیرها اغاز می شود.

این تحلیل، متغیرها را به عنوان مجموع عوامل ضریب دار نشان می دهد.

چه ارتباطی بین این عوامل و ضرایب همبستگی اصلی وجود دارد ؟

چگونه می توان ضریب همبستگی را با بارهای عاملی مشترک تبیین کرد؟

یا در یک مضمون متفاوت تا چه اندازه یک مدل خطی برای همبستگی های مشاهده شده مناسب است؟

همبستگی بین دو متغیر به شکل نمره ی معیار از طریق فرمول به دست می آید:

 می توان این دو معادله را که به شکل نمره ی معیار هستند، در یکدیگر ضرب و مقادیر حاصل را N برای مورد جمع و سپس ان ها را بر N-1تقسیم کرد.

عوامل مشترک با یکدیگر همبستگی ندارند.

عوامل یگانه با یکدیگر و عوامل مشترک ناهمبسته هستند. با توجه به این فرض ها، نتیجه زیر حاصل می شود:

r’jk=aj1ak1+L+ajm+akm معادله ی فوق که تنها برای عوامل ناهمبسته به کار برده می شود، نشان می دهد که چگونه ضریب همبستگی بین دو متغیر را می توان به کمک بارهای عاملی به دست اورد. عبارتaj1ak1 به عنوان سهم عامل اول در همبستگی،aj2ak2 به عنوان سهم عامل دوم در همبستگی به همین ترتیب الی آخر در نظر گرفته می شود.

برای نشان دادن ضریب همبستگی به دست آمده و تفکیک آن از همبستگی مشاهده شده، یعنیrjk از r’jk استفاده می شود. ضریب همبستگی حاصل بین دو متغیر برابر استبه مجموع حاصل ضرب های بارهای عاملی مشترک. با توجه به داده های واقعی، همبستگی های حاصل از بارهای عاملی تا اندازه ای، به علت نمونه گیری و یا خطاهای دیگر با همبستگی های مشاهده شده تفاوت دارند.

تفاوت های بین همبستگی های باقیمانده، بارهای عاملی، همبستگی های باقیمانده r ̅_jk=r_jk-r ́_jkنامیده می شوند.

مقدار همبستگی های باقیمانده، اندازه ای را نشان می دهند که براساس آن، این عوامل،همبستگی های مشاهده شده را تعیین می کنند و یا این که نشان می دهد تا چه اندازه، یک مدل خطی برای همبستگی های مشاهده شده مناسب است.

میزان های اشتراک :

میزان اشتراک، یعنی h2 نسبتی از واریانس را نشان می دهد که بین یک متغیر و متغیرهای دیگر در مجموعه ی مورد نظر مشترک است، و برابر است با مجموع مجذورات بارهای عاملی عوامل مشترک.

این ارزش ها، در ابتدا نامشخص هستند و باید به کمک داده ها برآورد شوند. برآوردهایی از میزان های اشتراک به عنوان عناصر قطری قبل از آغاز راه حل تحلیل عاملی در جدول همبستگی ها قرار داده می شوند. روش های مختلفی برای برآورد میزان اشتراک های به کار برده می شوند.

در یکی از روش های قراردادی، در هر سطر یا ستون از ماتریس همبستگی، برآوردی از بزرگ ترین همبستگی ها، قرار داده می شود. یکی از متداول ترین برآوردهای میزان اشتراک که سزاوار توجه است، مجذور همبستگی چند متغیری R2j هر متغیر باn-1 متغییر باقیمانده است.

مجذور همبستگی های چند متغیری هر متغیر با دn-1 متغیر باقیمانده،یعنی R21,R22,…,R2nرا می توان به سادگی با استفاده از کامپیوتر محاسبه کرد R2jنسبت واریانس متغیری است که می توان آن را با مجموع مناسب ضرایب متغیرهای باقیمانده بیان کرد. علاوه بر این، به نظر می رسد که این نسبت، یک برآورد منطقی و موجه از میزان اشتراک را به دست می دهد که البته کاربرد آن بدون مشکل نیست.

خواننده به خاطر دارد که Rبرآوردی بدون اریبی از همبستگی چند متغیری در جامعه نیست؛مقدار این اریب به حجم نمونه و تعداد پیش بینی کننده ها بستگی دارد. توصیه دیگر در این زمینه، کاربرد ضریب پایایی از طریق بازآزمایی، rjj (در صورت امکان)،به عنوان برآوردی از میزان اشتراک است.

می توان نشان داد که Rj حد پایین rjj حد بالای میزان اشتراک است؛ یعنی، رابطه Rj≤h2j≤rjjبرقرار است.

برآورد میزان اشتراک، رابطه نزدیکی با تعداد عوامل دارد. میزان های اشتراک معمولا به عنوان آن دسته از عناصر قطری تعریف شده اند که باعث می شوند همبستگی های غیر قطری به صورت کاهشی و ایجازی با استفاده از کمترین عوامل تبیین شوند. 

راه های عامل اصلی امروزه روش عامل یابی مستقیم مورد استفاده راه حل عامل اصلی است.

این روش در سال (1933)، به وسیله ی هتلینگ گسترش یافت؛ ولی، این روش به دلیل ماهیت پیچیده ی محاسبه های ریاضی مورد نیاز، تا هنگامی که کامپیوترهای الکترونیکی در دسترس قرار نگرفتند، مورد استفاده قرار نگرفت.

در این جا، مدل هندسی راه حل عامل اصلی مورد توجه است. اندازه گیری های دو متغیر برای یک نمونه ی Nعضوی را می توان به صورت نقاطی در رابطه با دو محور مرجع متعامد مشخص کرد. نتیجه ی حاصل، نمودار پراکندگی معمولی است.

هرگاه، دو متغیر توزیع نرمال دو متغیری و همبستگی غیر صفر داشته باشند، ترتیب این نقاط، به شکل بیضی خواهد بود. با توجه به بیش از دو متغیر، یعنیn این نقاط را می توان با توجه بهnمحور مرجع مشخص کرد و نتیجه، به دست آوردن مجموعه نقاط مختلفی به شکل بیضی است.

عوامل اصلی با محورهای اصلی این بیضی متناظر هستند. با توجه به ابعاد این بیضی، می توان سوال هایی را مطرح کرد. هرگاه 1ها در قطرهای ماتریس همبستگی قبل از عامل یابی قرار داده شوند، این بیضی،nمحور اصلی خواهد داشت وn مولفه به وجود خواهد آمد.

برآوردهایی از میزان های اشتراک در قطرها قرار داده شوند، m عامل به وجود خواهد آمد که البته معمولا m کوچک تر از n است. می توان نشان داد که تعیین محورهای اضلی بیضی حاصل، از نظر جبری به تعیین مجموعه ای از عوامل، تقلیل پیدا می کند.

این عوامل براساس کاهش ترتیب سهم آن ها در میزان اشتراک تعیین می شوند. ضمنا، فرض بر این است که برآوردهایی از میزان های اشتراک در قطر ماتریس همبستگی قرار داده می شوند. در این روش های محاسباتی که معمولا در عمل به طور هم زمان به دست می آیند.

این راه حل که به تعیین عامل ...منجر می شود، فرمول زیر را به حداکثر می رساند. V1=a211+a221+…+a2n1 (7) در فرمول فوق، V1سهم F1در میزان اشتراک کل است. پس از محاسبه ی F1ماتریس باقی مانده های عامل اول به دست می آید. سهم عامل اول در r12 برابر با a11a21 و همبستگی باقیمانده برابر با r12-a11a21 است.

به طور کلی،همبستگی های باقیمانده ی عامل اول، از فرمول rjk-aj1ak1 به دست می آیند. در نتیجه جدول همبستگی های باقیمانده تشکیل خواهد شد. این جدول شامل همبستگی هایی با اثر حذف شده ی عامل و میزان های اشتراک باقیمانده در روی قطر است.

عامل دوم، یعنیF2 از به حداکثر رسیدن فرمول زیر به دست می آید: (8) V2=a212+a222+…+a2n2 در فرمول فوق، V2سهم عامل دوم در میزان اشتراک است. پ

علاوه بر این، جدول باقیمانده ها به دست می آید که بخش هایی از همبستگی را نشان می دهد که بعد از حذف متغیر دوم باقی می مانند.

این روش تا زمانی که بخشی از میزان اشتراک کل باقیمانده را نتوان جزئی و ناچیز قلمداد کرد، ادامه می یابد.

روشی که معمولا در راه حل عامل اصلی به کار می رود، آن است که سهم عامل در میزان اشتراک کل نباید از یک کمتر باشد.