بسیاری از آزمایش ها شامل مطالعۀ اثرهای دو یا بیشتر از دو عامل اند. به طور کلی برای این نوع آزمایش ها، طرح های عاملی کاراترین هستند. منظور از یک طرح عاملی آن است که در هر امتحان کامل، تمام ترکیب های ممکن سطوح عامل ها بررسی شوند.
طرح های عاملی
بسیاری از آزمایش ها شامل مطالعۀ اثرهای دو یا بیشتر از دو عامل اند.
به طور کلی برای این نوع آزمایش ها، طرح های عاملی کاراترین هستند.
منظور از یک طرح عاملی آن است که در هر امتحان کامل، تمام ترکیب های ممکن سطوح عامل ها بررسی شوند.
مثلا اگرα سطح برای عامل A و b سطح برای عامل B وجود داشته باشند، هر تکرار شامل تمامی ab ترکیب های تیماری است. وقتی عامل ها در «طرح عاملی» (factorial design) منظور شوند اغلب گفته می شود «تقاطی» (interaction) هستند.
بنا بر تعریف، اثر یک «عامل» (factor) برابر است با تغییر در پاسخ به وسیلۀ تعویض سطح آن عامل، این اثر را اغلب «اثر اصلی» (main effect) می گویند.
نکات :
اگر k تیمار داشته باشیم که هر کدام دارای دو سطح آزمایش باشد، به آن طرح، طرح عاملی 2k گفته می شود.
اگر k تیمار داشته باشیم که هر کدام دارای سه سطح آزمایش باشد، به آن طرح، طرح عاملی 3k گفته می شود.
اگر k تیمار داشته باشیم که هر کدام دارای چهار سطح آزمایش باشد، به آن طرح، طرح عاملی 4k گفته می شود.
مثال:
سه محلول متفاوت شستشو برای مطالعۀ اثر آنها در کند شدن باکتری در ظرف گالنی شیر با هم مقایسه می شوند.
تحلیل در یک ازمایشگاه انجام می شود و هر روز می توان فقط تنها سه آزمایش را اجرا کرد.
برای اینکه زمان (برحسب روز) می تواند منبع بالقوه تغییر پذیری باشد، آزمایشگر تصمیم می گیرد از «طرح بلوک تصادفی» (random block design) استفاده کند.
مشاهدات در چهار روز گرفته شده و داده ها در جدول 9-7 نشان داده شده اند، یکسان بودن اثر سه محلول شستشو را بررسی کنید:
پاسخ:
1- داده ها را به SPSS وارد کنید، شکل 21-7.
2- دستور ، Analyze > General Linear model > univariate… را اجرا و پنجرۀ univariate را بازکنید.
1- متغیر response (پاسخ) را به کادر مستطیلی dependent variable و متغیرهای solution (محلول) و days (روزها)، که متغیرهای عاملی محسوب می شوند، را به ناحیۀ fixed factor(s) منتقل کنید.
2- روی دکمۀ model… کلیک کنید تا پنجرۀ univariate: model باز شود.
3- در بالای پنجرۀ univariate: model گزینۀ custom (سفارشی) را انتخاب کنید.
4- در ناحیۀ مستطیلی build term(s) (ساختن جملات)، عبارت interaction (تقاطی) را انتخاب کنید.
5- در حالیکه کلید Ctrl از صفحه کلید را پایین نگه داشته اید روی هر یک از متغیرهای Soloution و days در ناحیۀ مستطیلی factor & covariates یک بار کلیک کرده و آن ها را انتخاب کنید.
6- در ناحیۀ build term(s) (که در وسط دو ناحیۀ مستطیلی قرار دارد) روی دکمۀ کلیک کنید تا این متغیرهای انتخاب شده به ناحیۀ مستطیلی model منتقل شوند، شکل 22-7. شکل 21-7 نحوه وارد کردن داده ها شکل 22-7 متغیرهای تقاطی را تعریف کنید.
7- مجددا در ناحیۀ build term(s) باکلیک روی کادر، عبارت main effect (اثرات اصلی) را انتخاب کنید.
8- در ناحیۀ factors & covariates روی متغیر های Soloution و days کلیک کرده و با کلیک دکمۀ آن ها را به ناحیۀ مستطیلی model منتقل کنید، شکل 23-7.
9- ابتدا روی دکمۀ continue کلیک و سپس دکمۀ ok را کلیک کنید، خروجی 5-7.
II- آمارۀ آزمون:
چون در هر یک از خانه ها فقط یک مشاهده وجود دارد، عامل خطا را نمی توان محاسبه کرد، بنابراین نمی توانیم آزمونی را انجام دهیم برای اجرای آزمون، حداقل باید یک تکرار در هر خانه داشته باشیم.
مثال :
عوامل موثر در مقاوت یک الیاف مصنوعی در برابر پاره شدن تحت مطالعه است.
چهار ماشین تولید و سه عملگر به تصادف انتخاب و یک آزمایش عاملی با استفاده از همان الیاف اجرا شده است.
نتایج به صورت جدول 10-7 بوده اند.
در اینجا یکسان بودن اثر «عملگر» و «عملگر و ماشین» را در سطح آزمون =0.05α بررسی کنید.
پاسخ:
1- داده ها را به SPSS وارد کنید، شکل 24-7.
2- دستور ، Analyze > General Linear model > univariate… را اجرا و پنجرۀ univariate را بازکنید.
3- متغیر response (پاسخ) را به کادر مستطیلی dependent variable (متغیر وابسته) منتقل کنید. متغیرهای Operator (عملگر) و machine (ماشین) را به ناحیۀ مستطیلی fixed factor(s) (عوامل تثبیت شده) منتقل کنید.
4- روی دکمۀ model… کلیک کرده و مشابه تمرین قبل، در پنجرۀ univariate: model مدل ها را به صورت operator , machine* Dperator و Machine تعریف کنید، شکل 25-7.
5- ابتدا روی دکمۀ continue و سپس روی ok کلیک کنید، خروجی 6-7.
طرح عاملی 2
اولین طرح 2^kطرحی تنها با دو عامل؛ مثلا A,B ، هر یک در 2 سطح است. این طرح را طرح عاملی2^2 می گویند.
سطوح عاملی می توانند دلخواه باشند که آن ها را «پایین» و «بالا» می نامیم.
مدل کلی این طرح به صورت زیر است:
مثال:
مهندسی شاغل در شرکت نوشابه پر کنی به اثرهای دو نوع مختلف بطریهای 32 اونسی در زمان تحویل جعبه های 12 تایی فرآورده علاقمند است انواع مختلف بطریها شیشه ای و پلاستیکی هستند.
در جابجایی 40 جعبه از فرآورده طی مسافتی به اندازه 50 پا و به وسیلۀ نوعی چرخ دستی استاندارد وانبار کردن آن ها از دو کارگر استفاده می شود.
یک طرح عاملی 2^2 با 4 تکرار انجام شده و زمان های مشاهده شده را در جدول 11-7 آورده ایم.
وجود اثر متقابل در سطح پنج درصد را آزمون کنید.
پاسخ:
1- داده ها را به SPSS وارد کنید، شکل 26-7. 2- دستور ، Analyze > General Linear model > univariate… را اجرا و پنجرۀ univariate را بازکنید.
1- متغیر Product را به کادر dependent variable و سپس، دو متغیر Bottle و Worker را به کادر fixed factor(s) منتقل کنید.
2- با کلیک روی دکمۀ model… مدل را به صورت تقاطی bottle *worker تعریف کنید، شکل 27-7.
3- ابتدا روی دکمۀ continue کلیک کنید.
4- روی دکمۀ ok کلیک کنید، خروجی 7-7.
اکنون وضعیتی را در نظر می گیریم که در آن سطوح A و B هر دو به طور تصادفی از جوامع بزرگتر انتخاب شده اند.
این مدل، اثرهای تصادفی یا مدل «مولفه های واریانس» به دلیل انتخاب تصادفی a سطح A و b سطحB، استنباط ها در مورد تمامی سطوح جامعه های تحت مطالعه معتبرند.
می توان مشاهدات را با مدل خطی:
بیان نمود که در آن، پرامترهای مدل متغیرهای تصادفی هستند.
در این حالت واریانس هر مشاهده بوده و را مولفه های واریانس می گویند:
برای آزمون آمارۀ مناسب آزمون عبارتست از:
توجه کنید که این آماره های ازمون همانند وقتی که هر دو عامل A وb تثبیت شده اند نمی باشد.
بنابراین، «امید ریاضی میانگین مربعات» همواره راهنمای ساخت آمارۀ آزمون است.
طرح عاملی 33 :
اکنون سه عامل A,B,C را در نظر می گیریم که هر دو عامل در سه سطح یک آزمایش عاملی قرار گرفته باشند.
اکنون این طرح عاملی 33 است. هر اثر اصلی دارای 2 درجۀ آزادی، هر اثر متقابل دو عاملی دارای 4 درجۀ آزادی و هر اثر متقابل با تقاطی سه عاملی دارای 8 درجه آزادی است.
نکته
اگر n تکرار داشته باشیم، درجۀ آزادی کل1- n33 و درجه آزادی خطا(n-1) 33 خواهد بود.
مثال :
یک محقق علوم پزشکی اثر لیدوکائین را بر سطح آنزیم در عضلۀ توله سگ های پاکوتاه مطالعه می کند.
در آزمایش از سه نوع متفاوت لیدوکائین تجاری (A)، سه سطح دوز دارو (B) و سه سگ (C) استفاده شده و دو تکرار طرح عاملی 33 اجرا شده است. معنی داری اثرات اصلی و اثرات متقابلی را در سطح پنج درصد آزمون کنید:
پاسخ:
1- داده ها را به SPSS وارد کنید، شکل 28-7.
2- دستور ، Analyze > General Linear model > univariate… را اجرا و پنجرۀ univariate را بازکنید.
3- در پنجرۀ Univariate متغیرهای نوع Lidocaine Type (Lido Type) , Dog Repetition (Dogrep) و Drug Dose (Dose) (دوز دارو) را به ناحیۀ fixed factor(s) (عوامل تثبیت شده) و متغیر Response (پاسخ) را به ناحیۀ مستطیلی dependent variable (متغیر وابسته) منتقل کنید، 29-7.
4- روی دکمۀ model… کلیک کرده و در پنجرۀ univariate: model اثرات اصلی و اثرات متقابل یا تقاطی را مشابه شکل 30-7 تعریف کنید.
